改进的Haar子带变换双滤波器自适应算法

文昊翔，洪远泉，罗欢; WEN Haoxiang; HONG Yuanquan; LUO Huan

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摘要

为提高双滤波器结构（Dual filter structure， DFS）一级滤波器W₁（k）的收敛速度，本文提出一种改进的Haar子带变换（Partial Haar transform， PHT）算法。新算法先对W₁（k）的输入信号进行PHT变换以压缩滤波器长度；然后通过优化收敛步长使后验误差最小化以提高收敛速度；最后通过分时保存、维护算法的归一化因子以降低算法计算复杂度。通过提高W₁（k）的收敛速度，新算法可以更少的迭代次数获得稳定的延时估计，从而提高DFS的整体收敛速度。以回声消除为应用背景对新算法进行实验仿真，实验结果表明新算法性能显著优于其他传统的自适应算法。

关键词

稀疏系统辨识; 双滤波器结构; 自适应算法; Haar变换; 延时估计

引言

自适应算法^[

1⁃2]在系统辨识领域有广泛应用。而在某些系统辨识应用(如回声消除、有源噪声控制)，因系统延时不确定，导致目标系统的冲激响应(Impulse response, IR)序列通常具有稀疏性^{[参考文献 3

百度学术}3]。即序列虽然包含大量系数，但其中大部分系数为零值系数或极小值以模拟延时；真正产生能量的大幅值系数在时域聚集，且数量只占系数总量极小一部分。

传统的最小均方(Least mean square, LMS) 算法与归一化LMS(Normalized LMS, NLMS)算法不考虑目标系统的稀疏性，用一个长的滤波器辨识IR序列。过长的滤波器导致自适应系统收敛速度下降，计算复杂度增加^[

4]。

利用稀疏性可有效解决或部分缓解滤波器过长导致的各种缺陷^[

5]。双滤波器结构(Dual filter structure, DFS)^{[参考文献 6⁃7}6⁃7]是其中一种有效的解决方案。它用一级滤波器W₁(k)以低分辨率辨识目标系统以定位活跃系数位置；然后一个短的二级滤波器W₂(k)在时域覆盖所有活跃系数，并精确辨识活跃系数。W₂(k)通过排除大量非活跃系数参与自适应算法以降低滤波器长度。

目前对DFS的研究主要针对W₁(k)，需解决的问题是：在不降低定位精度的条件下，如何降低W₁(k)的长度与计算复杂度。传统的解决办法是对W₁(k)的输入信号进行降采样以降低W₁(k)长度^[

8]。但降采样将导致信号频谱混叠，高频分量丢失，不利于W₁(k)定位活跃系数。

传统的DCT、FFT变换等将频域局部化而时域信息完全丢失，因此无法应用于时域定位。小波变换^[

9]可以同时兼顾信号的时频特性。Haar小波作为最基本的小波，具有支撑区间不重叠，计算复杂度低等优良特性。通过求取Haar小波与输入信号的内积，可以同时提取信号的时、频信息。Haar变换为延时估计、自适应辨识稀疏系统提供了新思路^{[参考文献 10

百度学术}10]。

针对回声消除应用，Ho等^[

11]较早将Haar应用于辨识稀疏系统。受此启发，Bershad等结合DFS，提出Haar子带变换 (Partial Haar transform, PHT)^{[参考文献 12

百度学术}12]算法。PHT先在某个尺度对W₁(k)的输入信号进行PHT变换以压缩信号长度，然后再进行自适应滤波，并且Bershad等从理论上证明W₁(k)将最终收敛于IR序列在该尺度下的Haar变换系数。

以PHT为基础，Kechichian等^[

13]引入模糊逻辑判定活跃系数位置；Ribas等^{[参考文献 14

百度学术}14]则尝试进一步降低算法的计算复杂度。在众多学者的努力下，PHT已经成为一类自适应辨识稀疏系统的有效算法。

本文提出改进PHT (Improved⁃PHT, I⁃PHT)算法。新算法以PHT为基础，通过为W₁(k)引入时变收敛步长并优化该步长使后验误差最小化以加快W₁(k)收敛速度；然后通过分时保存、计算W₁(k) 的归一化因子以降低算法的计算复杂度；最后以回声消除为应用背景对新算法进行实验仿真以验证新算法的有效性。

1 问题描述与相关工作

1.1 自适应系统辨识

目标系统IR序列记为 $H = [h_{1}, h_{2}, \dots, h_{N}]^{T}$ ，其中N为序列长度。记k时刻输入信号向量为 $X (k) = [x (k - 1), x (k - 2), \dots, x {(k - N)]}^{T}$ ，向量X(k)包含最近N个时刻的输入信号。X(k)与H卷积，卷积结果加上背景噪声v(k)形成系统输出d(k)。

d (k) = X^{T} (k) H + v (k)

(1)

系统辨识需解决的问题为：如何根据X(k)与d(k)估计H。根据自适应理论，可以用一个FIR滤波器 $W (k) = [w_{1} (k), w_{2} (k), \dots, w_{N} (k)]$ 以自适应算法更新其系数以逼近、辨识目标系统的IR序列。其中LMS算法系数更新方程为

e (k) = d (k) - W (k) X^{T} (k)

(2)

W (k + 1) = W (k) + μ e (k) X (k)

(3)

式中：μ为收敛因子，用于平衡算法的收敛速度与辨识精度。滤波器W(k)按自适应算法更新其系数，经过若干次迭代，W(k)将收敛于目标系统的IR序列。若记E[ ]为取数学期望，则有

\underset{k \to \infty}{l i m} E [W (k)] = H

(4)

式(4)为基本的自适应理论，与之相关的详细内容可参考文献[

1]。

1.2 稀疏性与DFS

为保证充分建模，W(k)的长度必须大于等于H的长度。但当目标系统具备稀疏性时，若能获得系统的延时估计，只需精确辨识活跃系数即可完成对整个目标系统的自适应辨识。一个典型稀疏系统的IR序列如图1所示^[

6]。它是电子回声路径的IR序列，采样频率8 kHz。

图1 典型稀疏系统的IR序列

Fig.1 Impulse response of typical sparse system

DFS可利用稀疏性提高算法效率，其原理如图2^[

6]所示。W₁(k)以低分辨率辨识目标系统并进行延时估计；然后一个短的W₂(k)在时域覆盖所有活跃系数，并精确辨识活跃系数。

图2 双滤波器结构

Fig.2 Dual filter structure

1.3 Haar子带变换

离散Haar小波母函数定义为

ψ_{m, 0} (t) = \{\begin{matrix} 2^{- m / 2} & 0 \leq t \leq 2^{m - 1} - 1 \\ - 2^{- m / 2} & 2^{m - 1} \leq t \leq 2^{m} - 1 \\ 0 & 其 他 \end{matrix}

(5)

离散Haar小波定义为

ψ_{m, n} (t) = ψ_{m, 0} (t - 2^{m} n)

(6)

式中：t仅取整数值；m为尺度因子，取值范围1≤m≤log₂N，N为输入信号长度，m越大，对应的Haar时间窗越宽，以利于提取信号低频分量，m越小，则时间窗越窄以提取高频分量；n为时移因子，通过调整n平移小波母函数以覆盖不同的时域范围。

为便于阐述，以输入信号长度N=8为例说明。Haar变换矩阵定义如下

ψ_{3} = 2^{- 3 / 2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \sqrt[]{2} & \sqrt[]{2} & - \sqrt[]{2} & - \sqrt[]{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt[]{2} & \sqrt[]{2} & - \sqrt[]{2} & - \sqrt[]{2} \\ 2 & - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & - 2 \end{matrix}]

(7)

式中：第1列对应m=3，与输入信号求内积后提取信号低频分量；第2、3列对应m=2，分别提取信号时域前半、后半部分频率信息；第4~7列对应m=1，分别提取信号对应4部分的高频分量。

由式(7)可得Haar子带变换矩阵定义如下

ψ_{3,3} = 2^{- 3 / 2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}]

(8)

ψ_{3,2} = 2^{- 1} [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}]

(9)

ψ_{3,1} = 2^{- 1 / 2} [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{matrix}]

(10)

利用Haar子带变换，Bershad等^[

12]提出PHT算法，W₁(k)在Haar域对信号进行自适应滤波，以降低滤波器长度。系数更新过程为

Z_{m} (k) = ψ_{M, m} X (k)

(11)

e_{1} (k) = d (k) - Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k)

(12)

W_{1} (k + 1) = W_{1} (k) + μ_{p} e_{1} (k) Z_{m} (k)

(13)

同样以N=8为例，Haar尺度因子M定义为M=log₂N=3。当取m=3时，按照式(11) PHT变换的定义，式(8)的变换矩阵将与输入信号向量X(k)进行矩阵相乘，W₁(k)长度N₁压缩为N₁=1；若m=2，则N₁=2；若m=1时，则N₁=4。可得，式(11)的PHT变换可大幅压缩W₁(k)的长度。

经Bershad等证明^[

12]，W₁(k)按式(11—13)进行自适应算法，收敛后有

\underset{k \to \infty}{l i m} E [W_{1} (k)] = H_{1} = ψ_{M, m} H

(14)

因此PHT算法既可压缩W₁(k)的长度，又可以获得与目标系统H相关的信息。以W₁(k)的信息为基础，再利用峰值系数位置^[

13]、模糊逻辑^{[参考文献 14

百度学术}14]或移动窗积分法^{[参考文献 15

百度学术}15]即可进行延时估计以定位活跃系数。

式(5—14)为PHT算法的基本原理，与之相关的详细理论推导可参考文献[

12]。

2 改进PHT算法

以PHT(式(11—13))为基础，提出I⁃PHT算法提高W₁(k)收敛速度。新算法先为PHT引入时变收敛步长β(k)，然后以后验误差最小化为目的优化β(k)。

2.1 推导过程

以式(13)为基础引入时变收敛步长β(k)可得

W_{1} (k + 1) = W_{1} (k) + β (k) e_{1} (k) Z_{m} (k)

(15)

自适应算法的先验误差e₁(k)定义如式(12)。后验误差ε₁(k)定义为

ε_{1} (k) = d (k) - Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k + 1)

(16)

新算法目的为求取β(k)最优值，使式（17）极大化。

f (β (k)) = e_{1}^{2} (k) - ε_{1}^{2} (k)

(17)

其物理意义为在先验误差e₁(k)确定的条件下，使后验误差ε₁(k)能量最小化。以下为化简f(β(k))过程。由式(12)可得

e_{1}^{2} (k) = d^{2} (k) - 2 d (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k) + W_{1}^{T} (k) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k)

(18)

同理，由式(16)可得

ε_{1}^{2} (k) = d^{2} (k) - 2 d (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k + 1) + W_{1}^{T} (k + 1) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k + 1)

(19)

将式(15)代入式(19)，化简、整理后得

\begin{array}{l} ε_{1}^{2} (k) = d^{2} (k) - 2 d (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k) + W_{1}^{T} (k) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) W_{1} (k) - \\ 2 β (k) e_{1}^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) + e_{1}^{2} (k) β^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) \end{array}

(20)

式(18)与式(20)两式相减可得

f (β (k)) = e_{1}^{2} (k) - ε_{1}^{2} (k) = 2 β (k) e_{1}^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) - e_{1}^{2} (k) β^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)

(21)

由式(21)可得，f(β(k))是关于变量β(k)的二次函数。对函数f(β(k))关于β(k)求导，当导数为零时，f(β(k))取得极大值，此时β(k)即为最优解。即

f (β (k)) = 2 e_{1}^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) - 2 β (k) e_{1}^{2} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k) = 0

(22)

解得

β (k) = 1 / Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)

(23)

将式(23)代入式(15)可得

W_{1} (k + 1) = W_{1} (k) + e_{1} (k) Z_{m} (k) / [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]

再次引入收敛步长μ_i平衡算法收敛速度与稳态失调。最后，新算法的系数更新方程为

W_{1} (k + 1) = W_{1} (k) + μ_{i} e_{1} (k) Z_{m} (k) / [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]

(24)

2.2 计算复杂度优化

I⁃PHT(式(24))与PHT(式(13))相比，主要是式(24)的分母 $[Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ (即归一化因子)，引入额外的计算复杂度。

在NLMS算法中，因X(k)与X(k-1)是简单的线性移位关系，可以利用式(25)快速计算归一化因子。

X^{T} (k) X (k) = X^{T} (k - 1) X (k - 1) + x^{2} (k) - x^{2} (k - N)

(25)

但在I⁃PHT中，因Z_m(k)与Z_m(k-1)不再满足线性移位关系，因此 $[Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 不能直接套用式(25)快速计算获得，需另外寻找新的高效计算方法。

为方便讨论，记 $Z_{m} (k) = [z_{1} (k), z_{2} (k), \dots, z_{N 1} (k)]$ 。定义压缩比为r=N/N₁，式中N为X(k)长度，N₁为Z_m(k)的长度。通过PHT变换(式(11))，X(k)中相邻的r个信号被压缩为Z_m(k)中的1个信号。因此虽Z_m(k)与Z_m(k-1)不再保持线性移位关系，但Z_m(k)与Z_m(k-r)仍保持线性移位关系。针对该关系，建立向量 $P = [p_{1} (k), p_{2} (k), \dots, p_{r} (k)]$ 。记i=1+(k mod r)，式中mod为求余运算。将 $Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)$ 值保存在p_i(k)中，有 $p_{i} (k) = Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)$ 。即把算法归一化因子按不同时刻分别保存在向量P中，并以r为循环。此时有

p_{i} (k) = p_{i} (k - r) - z_{N 1}^{2} (k - r) + z_{1}^{2} (k)

(26)

至此，新算法的实现可归纳为按步骤执行式(11,12)与式(27—29)。

i = 1 + (k m o d r), p_{i} (k) = p_{i} (k) + z_{1}^{2} (k)

(27)

W_{1} (k + 1) = W_{1} (k) + μ e_{1} (k) Z_{m} (k) / p_{i} (k)

(28)

p_{i} (k) = p_{i} (k) - z_{N 1}^{2} (k)

(29)

与PHT算法相比，I⁃PHT每次迭代仅额外引入3次加/减法、2次乘法。

3 实验仿真

以回声消除为应用背景进行实验仿真以检验新算法的性能。目标系统H采用图1所示的实际回声路径，长度为N=512。活跃系数定位的判断逻辑采用移动窗积分法^[

15]。

压缩比r决定W₁(k)的长度N₁。若r取值过小，则不能有效缩短W₁(k)的长度；若r取值过大，则分辨率过低，无法有效定位活跃系数。本实验按文献[

13]取r=4，即N₁=128。

实验仿真分两部分进行，实验1检验新算法对W₁(k)性能的影响，实验2检验新算法对整个DFS的影响。

3.1 实验1

以方差为1的高斯白噪声作为输入信号X(k)。X(k)与H卷积，再以另一高斯白噪声作为背景噪声v(k)， X^T(k)H与v(k)二者信噪比为20 dB。

实验1主要比较PHT与I⁃PHT两种算法。对I⁃PHT，μ_i=0.5；对PHT， $μ_{p} = μ_{i} / E [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 。其中 $E [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 根据输入信号的先验知识统计获得。对W₁(k)的性能评价采用两个指标：失调与有效定位活跃系数所需迭代次数。

(1) 失调，单位为dB，计算公式为

M I S (k) = 10 l o g_{10} (| | W_{1} (k) - H_{1} | |_{2}^{2} / | | H_{1} | |_{2}^{2})

(30)

式(30)中H₁的计算公式为 $H_{1} = ψ_{M, m} H$ 。

两算法的W₁(k)失调曲线如图3所示。由图3可得，I⁃PHT与PHT相比，稳态失调相似，但收敛速度有明显提高。

图3 一级滤波器失调曲线对比

Fig.3 Misalignment curve comparison of the first-order filter

(2)定位活跃系数所需迭代次数。当W₂(k)开始覆盖目标系统的峰值系数时，可认为W₁(k)已准确定位活跃系数。由图4所展示的实验得，为准确定位活跃系数，PHT约需408次迭代，而I⁃PHT仅需约101次迭代。

图4 二级滤波器失调曲线对比

Fig.4 Misalignment curve comparison of two-stage filter

3.2 实验2

因W₁(k)仅用于低精度辨识目标系统以定位活跃系数，精确辨识目标系统还需W₂(k)完成，所以W₂(k)的性能改善才是整个自适应系统的最终目标，对W₂(k)性能的评估与W₁(k)相比，更显重要。

在计算W₂(k)算法失调时，DFS需先将短的W₂(k)在首尾补零扩展至长度为N=512，记扩展后的序列为W(k)，再按式（31）计算失调。

M I S (k) = 10 l o g_{10} (| | W (k) - H | |_{2}^{2} / | | H | |_{2}^{2})

(31)

重复实验1的参数设置，PHT与I⁃PHT的W₂(k)均采用LMS算法更新系数，W₂(k)的长度N₂=64。μ=0.077。两算法的W₂(k)失调曲线如图4所示。

结合图4与实验1可得，因I⁃PHT可使W₁(k)获得更快的收敛速度，在更短的时间内准确定位活跃系数，所以最终导致W₂(k)的收敛速度亦有大幅提高。因PHT的W₁(k)约需400次迭代才可获得稳定的延时估计，因此其W₂(k)只有在400次迭代之后才进入快速收敛阶段。而I⁃PHT的W₂(k)仅需约100次迭代即进入快速收敛阶段，获得比PHT更快的整体收敛速度。

为更好地模拟回声消除系统工作环境，以实际语音信号激励目标系统，并再次进行实验仿真。系统信噪比为20 dB。为检验算法跟踪能力，在20 s时，目标系统IR序列整体左移200个单位。针对W₁(k)的收敛步长，I⁃PHT设为μ_i=0.1；PHT设为 $μ_{p} = μ_{i} / E [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 。W₂(k)的收敛步长，I⁃PHT与PHT均统一设为μ=0.03。单滤波器LMS算法作为经典的自适应算法亦纳入对比，滤波器长度设为N=512，步长设置为μ=0.03/8。其他设置与实验1一致。3种算法的W₂(k)失调如图5所示。

图5 3种自适应算法失调曲线对比

Fig.5 Misalignment curve comparison of three adaptive algorithms

由于DFS能有效降低滤波器长度，其W₂(k)长度仅为LMS算法W(k)长度的1/8。随着滤波器长度的下降，算法的收敛速度迅速提高。由图5得，I⁃PHT、PHT的收敛速度显著高于LMS算法。

而同为DFS，针对W₁(k)而言，I⁃PHT优于PHT的地方主要有以下3点：

(1) 因I⁃PHT的 W₁(k)能更快地定位活跃系数，因此其整体收敛速度明显优于PHT。图3—5可证明该结论。

(2) 实验发现当输入信号是真实语音信号时，I⁃PHT的W₁(k)收敛步长μ_i取值范围大于PHT的μ_p。取μ_i<0.8仍能保证W₁(k)收敛，但I⁃PHT必须满足 $μ_{p} < 0.1 / E [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 才能保证W₁(k)收敛。因此I⁃PHT的稳定性高于PHT算法。

(3) I⁃PHT的步长μ_i取值范围有较清晰的指导值，其理论取值范围为0<μ_i<1。当输入信号为高斯噪声时，该理论范围可保证W₁(k)收敛；当输入为强相关、非平稳的语音信号时，各种自适应算法的稳定性均会减弱，此时I⁃PHT的μ_i实验取值范围约为0<μ_i<0.8。但PHT算法需先获得 $E [Z_{m}^{T} (k) Z_{m} (k)]$ 的先验知识，才能确定μ_p的取值范围。因此，与PHT算法相比，I⁃PHT更易于实现。

4 结束语

针对稀疏系统辨识应用，DFS是一类有效的解决方案。它用W₁(k)定位活跃系数位置，用一个短的W₂(k)精确辨识活跃系数。它通过降低滤波器有效长度，以达到提高收敛速度，降低计算复杂度的目的。

本文主要针对W₁(k)进行讨论，提出I⁃PHT算法。新算法先对W₁(k) 的输入信号进行PHT变换以压缩信号长度；然后引入时变步长，并以后验误差最小化为目标函数优化时变步长；最后将新算法的归一化因子分时、循环保存到一个向量中，并通过自回归方式维护归一化因子以降低计算复杂度。

以回声消除为应用背景对I⁃PHT进行实验仿真，仿真结果表明，DFS能有效降低滤波器长度以提高收敛速度。而与PHT相比，I⁃PHT算法收敛速度与稳定性均有明显提高。

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改进的Haar子带变换双滤波器自适应算法 PDF

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