均匀线阵中基于降秩Capon的近场源定位

陈未央; 徐乐; 张小飞; CHEN Weiyang; XU Le; ZHANG Xiaofei

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均匀线阵中基于降秩Capon的近场源定位 PDF

陈未央
徐乐
张小飞

南京航空航天大学电子信息工程学院，南京， 211106

中图分类号： TN911.7

最近更新：2020-03-12

DOI：10.16337/j.1004-9037.2020.01.009

摘要

提出了一种应用于均匀线阵中近场源定位的降秩Capon算法。该算法能够将经典二维Capon（Two‑dimensional Capon, 2D‑Capon）算法中的二维谱峰搜索转化为一维谱峰搜索，得到自动配对的近场信源角度和距离参数估计。与经典的2D‑Capon算法相比，本文提出的算法无需信源数估计，同时由于避免二维谱峰搜索过程，其计算复杂度大大降低，且该算法参数估计性能与2D‑Capon算法非常接近。仿真结果表明该算法可有效用于近场信源的参数估计。

关键词

近场信源; 参数估计; Capon; 降秩

引　　言

空间信源定位是阵列信号处理领域中的一项关键技术，它在医学成像、雷达、无线通信、声呐等方面都有着广泛的应用 ^[1‑2]。针对这一问题，国内外学者已经提出了多种经典算法，其中，包括最大似然(Maximum likelihood, ML)算法 ^[3‑7]、借助旋转不变性估计信号参数(Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法 ^[8‑10]、基于子空间理论的多重信号分类(Multiple signal classification, MUSIC)算法 ^[11‑13]等。根据信源距离接收阵列的远近，空间信源定位又可分为近场信源定位和远场信源定位。对于近场信源而言，信号入射至各个阵元时产生的相位差是关于阵元位置的非线性函数，因此远场信源波达方向(Direction of arrival, DOA)的估计方法大多不能直接应用于近场信源定位。对于近场来说，空间信源的定位问题不仅与信源的波达方向有关，还与信源与阵列之间的距离有关。因此，近场信源定位的数据模型中，既包括信源的角度信息，也包括距离信息，这样能够更加准确地描述信源在空间中相对于阵列的位置。

针对近场信源的定位问题，国内外学者做了大量研究工作，提出了多种应用于近场的信源定位方法，根据原理的不同，可大致分为非谱峰搜索和谱峰搜索两类。非谱峰搜索类的算法一般借助二阶或高阶统计量，通过计算闭式解得到信源的参数估计。近年来学者们提出了多种基于二阶统计量的算法 ^[14‑15]。由于高阶统计量具有保持信号相位并去除高斯噪声干扰的良好特性，一些基于高阶统计量的算法也被陆续提出 ^[16‑17]。由于不需要进行谱峰搜索，该类算法的计算复杂度普遍较低，但信号参数的估计精度也明显降低。同时，该类算法需要多次矩阵分解操作，且需要对所获得的参数估计进行额外配对 ^[18‑19]。

谱峰搜索类算法的共同特点是估计精度高，但计算量巨大。Swindlehurst等 ^[

20] 首先提出了基于最大似然的近场源参数估计方法，该方法具有优异的统计特性，但计算复杂度非常高。Huang等 ^{[
参考文献 21
百度学术}21] 证明了信源位于近场时，子空间理论中信号子空间和噪声子空间的正交特性依然是成立的，并由此提出了基于近场信源的经典二维MUSIC算法，该方法估计精度高，但由于需要二维全局空域空间谱搜索，所以计算量同样巨大。近年来，许多其他近场信源定位算法被提出，如Root‑MUISC算法 ^{[
参考文献 22
百度学术}22] 、路径跟踪法 ^{[
参考文献 23
百度学术}23] 、加权线性预测法 ^{[
参考文献 24
百度学术}24] 、改进型路径跟踪算法 ^{[
参考文献 25
百度学术}25] 等，这些算法均对已有算法进行了改进与优化，在一定程度上降低了计算复杂度。

从上述两类算法的介绍与分析中可知，如何有效地降低计算复杂度，避免谱峰搜索和进行参数配对，同时最大限度地提升参数估计精度，是近场信源定位技术研究的关键点。基于此，本文将矩阵降秩思想与Capon算法结合，对经典的近场源估计方法进行简化，提出了一种均匀线阵中基于降秩(Rank reduce, RARE)思想的近场源参数估计方法。本文的主要贡献如下：(1)提出了基于降秩思想的角度和距离参数联合估计方法；(2)相较于经典二维Capon(Two‑dimensional Capon, 2D‑Capon)算法，本文算法避免了二维谱峰搜索，大大减小了计算复杂度；(3)本文算法的参数估计性能接近经典2D‑Capon算法，具有较高的参数估计精度；(4)本文算法无需信源数估计。

1 数据模型

如图1所示，方位角与距离分别为 $(θ_{k}, r_{k})$ 的 K个近场信源发射信号，入射到由 M=2 N+1个沿 x轴均匀排列的阵元组成的均匀线阵上，选取中心阵元为阵列的相位参考点。对于近场信源而言，信源的距离满足 $r_{k} \in [0.62 (D^{3} {/ λ)}^{1 / 2} 2 D^{2} / λ]$ ，其中 $λ$ 为信源波长， $D$ 为阵列孔径。此时信源位于阵列的菲涅尔区域，信号到达阵列时呈球面形式 ^[

20] ，不能再近似为平面波。假设 K个接收信号互不相关且具有相同的中心频率

$ω_{0}$ ，阵元间距不大于四分之一波长 ^{[
参考文献 24
百度学术}24] 。

图1 近场信源定位均匀线阵模型

Fig.1 Structure of uniform linear array for near‑field sources localization

则第 m个阵元上的接收信号可以表示为 ^[

26]

$x_{m} (t) = \overset{K}{\sum_{k = 1}} s_{k} e^{j (γ_{k} m + ϕ_{k} m^{2})} + n_{m} (t)$

(1)

式中： $γ_{k} = - 2 π d s i n θ_{k} / λ_{k}$ ； $ϕ_{k} = π d^{2} c o s^{2} θ_{k} / λ_{k} r_{k}$ ； $s_{k} (t)$ 表示第 k个信源发出的信号被第 m个阵元接收并解调后的基带信号； $n_{m} (t)$ 表示阵元上的加性噪声； $θ_{k} \in [- π / 2, π / 2]$ 为第 k个信号入射方向的反方向与 y轴之间的夹角； $λ_{k}$ 为第 k个信号的波长； $r_{k}$ 为信源到参考阵元之间的距离。将式(1)写成矩阵的形式为

$x (t) = A s (t) + n (t)$

(2)

式中： $x (t) = [x_{- N} (t), \dots, x_{0} (t), \dots, x_{N} {(t)]}^{T}$ 为接收信号矩阵， $A = [a (θ_{1}, r_{1}), \dots, a (θ_{K}, r_{K})]$ 为均匀线阵的方向矩阵， $s (t) = [s_{1} (t), \dots, s_{K} {(t)]}^{T}$ 为信源矩阵， $n (t) = [n_{- N} (t), \dots, n_{0} (t), \dots, n_{N} {(t)]}^{T}$ 为阵列接收噪声矩阵。 $A$ 中的列向量 $a (θ_{k}, r_{k})$ 为导向矢量，具有如下形式

$a (θ_{k}, r_{k}) = {[e^{j [γ_{k} (- N) + ϕ_{k} {(- N)}^{2}]}, e^{j [γ_{k} (- N + 1) + ϕ_{k} {(- N + 1)}^{2}]}, \dots, 1, \dots, e^{j (γ_{k} (N - 1) + ϕ_{k} {(N - 1)}^{2})}, e^{j (γ_{k} N + ϕ_{k} N^{2})}]}^{T}$

(3)

利用 J个快拍的接收信号，可以计算信号协方差矩阵为

$R_{x} = \frac{1}{J} \overset{J}{\sum_{t = 1}} x (t) x^{H} (t)$

(4)

为不失一般性，本文做如下假设：

(1) 信源为相互统计独立的窄带随机过程，零均值，具有非零功率，信源的波长归一化为1；

(2) 阵元接收噪声为零均值、白或色高斯噪声，并与信源统计独立；

(3) 对于不同的信源，即 $i \neq j$ ，相位参数各不相同，即满足 $γ_{i} \neq γ_{j}, ϕ_{i} \neq ϕ_{j}$ ；

(4) 阵元为全向阵元且响应特性完全相同，无通道不一致、互耦等因素的影响，空间增益为1，阵元间距满足 $d \leq m i n (λ_{1} / 4, \dots, λ_{K} / 4)$ ；

(5) 阵元个数与信源个数满足 $K \leq N$ 。

2 降秩Capon算法

在经典的近场2D‑Capon算法中，信源参数 $(θ, r)$ 可通过式(5)在空域中进行全局谱峰搜索得到

$f_{2 D ‑ C a p o n} (θ, r) = \frac{1}{a^{H} (θ, r) R_{x}^{- 1} a (θ, r)}$

(5)

式中 $a (θ, r)$ 为

$a (θ, r) = {[e^{j [γ (- N) + ϕ {(- N)}^{2}]}, e^{j [γ (- N + 1) + ϕ {(- N + 1)}^{2}]}, \dots, 1, \dots, e^{j (γ (N - 1) + ϕ {(N - 1)}^{2})}, e^{j (γ N + ϕ N^{2})}]}^{T}$

(6)

经典2D‑Capon算法需要全局二维谱峰搜索，复杂度很高。为了降低算法复杂度，本文借鉴降秩思想，提出降秩Capon算法来实现二维参数估计，该算法有效避免了高复杂度的二维谱峰搜索过程。

由于阵列结构的对称性，导向矢量可以分解成如下形式 ^[

27]

$(θ, r) = [\begin{array}{l} \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (- N) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (- N + 1) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & ⋱ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & ⋰ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (N - 1) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e^{j N γ} \end{matrix} \end{array}] \cdot [\begin{array}{l} e^{j {(- N)}^{2} ϕ} \\ e^{j {(- N + 1)}^{2} ϕ} \\ ⋮ \\ e^{j {(- 1)}^{2} ϕ} \\ 1 \end{array}] = ζ (θ) v (θ, r)$

(7)

式中

$ζ (θ) = [\begin{array}{l} \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (- N) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (- N + 1) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & ⋱ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & ⋰ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} e^{j (N - 1) γ} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e^{j N γ} \end{matrix} \end{array}]$

$v (θ, r) = [\begin{array}{l} e^{j {(- N)}^{2} ϕ} \\ e^{j {(- N + 1)}^{2} ϕ} \\ ⋮ \\ e^{j {(- 1)}^{2} ϕ} \\ 1 \end{array}]$

(8)

式中： $ζ (θ) \in C^{(2 N + 1) \times (N + 1)}$ 仅包含信源的角度信息， $v (θ, r) \in C^{(N + 1) \times 1}$ 同时包含角度和距离信息。由式(8)可知 $v (θ, r) \neq 0$ ，故可将式(7)代入式(5)，得到

$\begin{array}{l} f (θ, r) = \frac{1}{v^{H} (θ, r) ζ^{H} (θ) R_{x}^{- 1} ζ (θ) v (θ, r)} = \frac{1}{v^{H} (θ, r) C (θ) v (θ, r)} \end{array}$

(9)

式中： $C (θ) = ζ^{H} (θ) R_{x}^{- 1} ζ (θ)$ ，可见 $C (θ) \in C^{(N + 1) \times (N + 1)}$ 中只包含信源角度参数信息。又 $v (θ, r) \neq 0$ 可知， $C (θ)$ 为非负定的共轭对称矩阵，因此 $v^{H} (θ, r) C (θ) v (θ, r) = 0$ 成立的充要条件为当且仅当 $C (θ)$ 为奇异矩阵。由假设条件可知，当 $K \leq N$ 时，噪声子空间 $U_{n}$ 的列秩不小于 $N + 1$ ，则可知 $C (θ)$ 为满秩矩阵，只有当角度参数信息取到信源的实际位置时，矩阵 $C (θ)$ 会降秩，即 $r a n k \{C (θ)\} < N + 1$ ，此时 $C (θ)$ 就会变成奇异矩阵，正交性成立。因此可以通过式(10)的一维谱峰搜索得到信源的DOA估计为

${\hat{θ}}_{k} = a r g \underset{θ}{m a x} \frac{1}{d e t [C (θ)]}$

(10)

式中： $a r g \underset{θ}{m a x} (\cdot)$ 表示取最大值时对应的角度值； $d e t (\cdot)$ 表示取行列式值； $k = 1, \dots, K$ 。

由式(10)得到信源的角度估计参数之后，将 ${\hat{θ}}_{k}$ 依次逐个代入经典2D‑Capon谱函数中，并构造式(11)中的距离搜索的谱函数，在距离上进行一维谱峰搜索，可得到距离参数的估计 ${\hat{r}}_{k}$ 为

${\hat{r}}_{k} = a r g \underset{r}{m a x} f ({\hat{θ}}_{k}, r) = \frac{1}{a^{H} ({\hat{θ}}_{k}, r) R_{x}^{- 1} a ({\hat{θ}}_{k}, r)}$

(11)

式中：距离的搜索范围 $r \in [0.62 (D^{3} {/ λ)}^{1 / 2} 2 D^{2} / λ]$ ， $k = 1, \dots, K$ ，由于需要将 K个角度估计逐个代入，可知需要进行 $K$ 次一维搜索。上述搜索过程能使得距离估计 ${\hat{r}}_{k}$ 与角度估计 ${\hat{θ}}_{k}$ 自动配对。

至此，已经完成了均匀线阵中近场信源基于降秩Capon算法的角度和距离参数的估计，该降秩Capon算法的主要步骤总结如下：

步骤1 根据式(4)计算接收信号协方差矩阵 $R_{x}$ ；

步骤2 根据式(5)构造谱峰搜索函数，并按式(7)将导向矢量 $a (θ, r)$ 拆分为 $a (θ, r) = ζ (θ) v (θ, r)$ ，并构造 $C (θ) = ζ^{H} (θ) {\hat{R}}_{x}^{- 1} ζ (θ)$ ；

步骤3 利用 $C (θ)$ ，由式(10)构造关于角度信息的一维函数，通过角度搜索得到接收信号的DOA估计；

步骤4 将得到的信源DOA估计结果逐个代入式(11)，然后再通过距离的一维谱峰搜索，得到与角度参数配对的距离估计。

3 算法分析

降秩Capon算法的复杂度主要包括：计算接收信号的协方差矩阵 ${\hat{R}}_{x}$ 需要 $O {M^{2} J}$ ，求 ${\hat{R}}_{x}^{- 1}$ 需要 $O {M^{3}}$ ，角度搜索需要 $O {n_{g} M (N + 1) (M + N + 1)}$ ， $K$ 次距离搜索 $O {n_{l} K M (M + 1)}$ ，因此总的复杂度为 $O {M^{3} + M^{2} J + n_{g} M (N + 1) (M + N - 1) + n_{l} K M (M + 1)}$ ；传统的经典2D‑Capon算法的复杂度为 $O {M^{3} + M^{2} J + n_{g} n_{l} M (N + 1) (M + N + 1)}$ 。其中， $n_{g} = [π / 2 - (- π / 2)] / Δ_{g}$ 为角度空间的谱峰搜索次数； $n_{l} = [2 D^{2} / λ - 0.62 (D^{3} {/ λ)}^{1 / 2}] / Δ_{l}$ 为近场距离区间内的谱峰搜索次数， $Δ_{g}$ 和 $Δ_{l}$ 为搜索步长； $M$ 为阵元个数； $N = (M - 1) / 2$ ； $J$ 为快拍数； $K$ 为信源个数。图2分别给出了本文所提出的降秩Capon算法与经典的2D‑Capon算法在不同的阵元数和快拍数下的复杂度对比。由图2可以看出，相较于经典的2D‑Capon算法，降秩Capon算法大大降低了计算的复杂度。

图2 算法复杂度对比图

Fig.2 Complexity comparison of two algorithms

本文所提算法优点总结如下：

（1）该算法能够有效实现近场源角度与距离参数的联合估计，且参数自动配对；

（2）该算法避免二维谱峰搜索，相比较于经典的2D‑Capon 算法，大大降低了计算的复杂度；

（3）该算法的参数估计性能非常接近经典2D‑Capon 算法，具有较高的参数估计精度；

（4）该算法无需信源数估计。

4 仿真结果

本文采用蒙特卡洛实验仿真，仿真中假设有两个近场信号被阵列所接收，其角度和距离参数分别为 $(10 °, 0.3 λ)$ 和 $(40 °, 0.8 λ)$ 。 M、 K、 J分别为阵列阵元数、信源数和接收信号快拍数。为了评估算法的参数估计性能，仿真实验次数为1 000次。角度和距离估计的求根均方误差(Root mean square error, RMSE)分别定义如下

$R M S E_{θ} = \frac{1}{K} \overset{K}{\sum_{k = 1}} \sqrt[]{\frac{1}{1 000} \overset{1 000}{\sum_{i = 1}} ({\hat{θ}}_{k, i} - θ_{k})^{2}}$

(12)

$R M S E_{r} = \frac{1}{K} \overset{K}{\sum_{k = 1}} \sqrt[]{\frac{1}{1 000} \overset{1 000}{\sum_{i = 1}} ({\hat{r}}_{k, i} - r_{k})^{2}}$

(13)

式中： $θ_{k}$ 和 $r_{k}$ 分别为第 k个信源的角度和距离的实际值， ${\hat{θ}}_{k, i}$ 和 ${\hat{r}}_{k, i}$ 分别为第 i次实验中得到的第 k个信源的角度和距离参数的估计值。

仿真1 图3为本文算法在信噪比SNR=10 dB的情况下，角度和距离估计结果分布图。仿真中，阵元数 M=9，信源数 K=2，快拍数 J=200。从图3可以看出本文算法可以有效用于近场信源的角度和距离参数估计。

图3 角度和距离参数估计的散布图

Fig.3 Angle and range estimation of the proposed algorithm

仿真2 图4和图5分别给出了本文算法在不同的快拍数下的角度和距离参数估计性能。仿真2中阵元数 M=9，信源数 K=2，分别设置信源数为 J=100， J=200， J=300。由图中可以看到，随着快拍数的增大，本文算法角度和距离估计性能越来越好。

图4 角度的估计性能随快拍数变化情况

Fig.4 Angle estimation performance versus different snapshots

图5 距离的估计性能随快拍数变化情况

Fig.5 Range estimation performance versus different snapshots

仿真3 图6和图7分别给出了本文所提的RARE‑Capon算法与传统的2D‑Capon算法角度和距离参数估计性能对比图。仿真3中，考虑阵元数 M=9，信源数 K=2和快拍数 J=200。从图 6, 7可以看出，本文中的RARE‑Capon算法与经典2D‑Capon算法参数估计性能非常接近。

图6 角度估计性能对比

Fig.6 Angle estimation performance comparison

图7 距离估计性能对比

Fig.7 Range estimation performance comparison

5 结束语

针对均匀线阵中近场信源的角度和距离参数联合估计问题，本文提出了一种降秩Capon算法。该算法无需信源数估计，且由于不需要进行二维谱峰搜素，其计算复杂度远远低于传统的2D‑Capon算法。同时，该算法能够获得自动配对的角度和距离参数估计。仿真表明，其参数估计性能与经典的2D‑Capon算法非常接近，且具有较高的参数估计精度。

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