引言

无线电频谱资源是一种非常重要的不可再生通信资源，随着无线通信业务的快速增长，目前静态分配的无线电频谱资源管理模式在频谱利用率上显得越来越低效。为了解决这个问题，认知无线电技术应运而生。

认知无线电技术的核心思想就是认知用户(Cognitive users, CUs)通过频谱感知实时地监测主用户(Primary users, PUs)也就是授权用户的状态。当认知用户发现主用户不存在时，就可以接入并利用主用户的频段进行数据传输，当认知用户发现主用户存在时，即退出并交还所使用的频段。认知无线电技术就是通过这样一种动态的频谱接入方式实现频谱资源的共享，从而达到提高频谱利用效率的目的^[1-2]。

可见，实现认知无线电的前提是可靠的频谱感知技术。目前的这些感知方法往往都假设在进行频谱感知的时候，主用户信号的状态是固定不变的，即一直都存在或是不存在，但是这样的假设过于理想。为了保证感知的精准度，频谱感知往往要通过一段相对较长的时间来收集数据样本从而做出正确的判决。因此在这段相对较长的时间内，主用户信号极有可能发生改变，即在认知用户进行频谱感知的过程中随机地出现或者离开。这样的随机出现或离开将对上述现有的传统能量频谱感知方法即功率门限检测方法造成性能下降。

针对这一问题，文献[3]首先证实了当主用户随机出现的时候，在Femtocell网络中的频谱感知性能将受到极大影响。文献[4]则在假设主用户随机出现的时间点服从均匀分布的时候，提出了一种贝叶斯频谱感知方法。文献[5]则在假设主用户随机出现的时间点服从正态随机分布的时候，提出了一种广义似然比频谱感知方法。此外，还有部分研究者将主用户的状态变化建模成马尔科夫状态转移过程，文献[6]基于此种假设研究了主用户随机出现时频谱感知和功率分配进行联合优化的方案。文献[7]则针对宽带条件下，多个主用户随机出现的情况，分析比较了一些传统的谱分析算法的性能及复杂度。文献[8]为保证主用户的通信质量，提出了一种联合优化能量效率和碰撞概率的感知方法。文献[9]则针对认知系统中可能随机出现的恶意主用户，提出了一种增强型Dempster-Shafer(D-S)协作感知算法。文献[10]分析了目前认知传感网频谱感知的安全问题，尤其是针对可能有恶意主用户随机出现的情况，研究了不同安全威胁及其解决方法，同时展望了未来频谱感知安全问题的发展趋势。文献[11]在Adhoc网络当中，针对随机出现的主用户，提出了一种信噪比加权共识合作频谱感知方法。文献[12]则针对存在多个随机出现主用户的宽带情况，提出了一种针对感知周期进行优化的多信道感知算法。总的来说，这一类研究方法需要将主用户的活动情况建模成马尔科夫随机过程，需要对主用户活动情况进行较多的假设。

在无线通信当中，泊松随机过程是经常被用来描述随机事件单位时间内发生次数以及发生时刻的一类增量计数随机过程。不同于已有的针对主用户随机出现与离开这样的状态变化时间点服从均匀分布或正态随机分布的情况，本文在假设主用户随机出现与离开的时间点服从泊松随机到达过程的情况下，提出了一种新型的能量频谱感知方法，更具有实际意义。该方法首先假设主用户信号的随机出现和离开服从泊松随机过程，当认知用户准备接入时，该方法先将从待测频段上接收到的样本能量按照泊松离开概率进行线性合并，然后计算相应的判决门限并判断待测频段是否有主用户信号，如果没有则接入并使用待测频段；当认知用户使用频段时，将接收到的样本能量按照泊松到达概率进行线性合并并计算相应的门限，再判断主用户信号是否随机出现，如出现则退出当前使用频段。本文利用似然比原则推导了该方法的最优判决量，然后基于纽曼-皮尔逊准则推导了该方法的判决门限，并分析了本方法的具体性能，最后用仿真结果验证了所提方法的有效性和优越性。

1 系统模型

在认知无线电系统中，为了检测到信噪比较低的主用户信号，认知用户往往会耗费较长的一段时间去搜取大量的数据样本，主用户信号的状态可能会在这个相对较长的时间里发生改变，会出现如图 1所示的两类情况：(1)认知用户在进行频谱感知的时候，原本没有主用户信号，但在某个时刻，主用户信号随机出现了；(2)认知用户在进行频谱感知的时候，原本存在主用户信号，但在某个时刻，主用户信号随机消失了。这两种情况都会对传统能量频谱感知方法即功率门限检测方法的性能造成影响。

本文根据图 1，提出主用户信号状态发生变化时的数学模型。

1.1 主用户信号随机出现时的模型

当主用户信号随机出现时，该问题可以被建模为二元假设检验问题，则

$ \begin{array}{*{20}{c}} {x\left( n \right) = w\left( n \right)}&{{H_0}}\\ {x\left( n \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {w\left( n \right)}&{n = 1,2, \cdots ,J}\\ {s\left( n \right) + w\left( n \right)}&{n = {J_1} + 1,{J_1} + 2, \cdots ,N} \end{array}} \right.}&{{H_1}} \end{array} $

(1)

式中：H₀和H₁分别为主用户信号出现和不出现的假设，x(n)表示接收到的信号，s(n)表示主用户信号，w(n)表示高斯白噪声，且具有零均值和方差σ_w²，噪声方差σ_w²在进行频谱感知时是一个不变的确定的常量，N表示样本总数，J₁表示主用户信号出现之前的那一个时刻，且J₁的出现是一个到达率为λ_α的泊松随机过程。J₁在0和N-1之间，这是因为当J₁为0的时候，表示主用户信号一直出现，这是可以发生的，当J₁为N的时候表示主用户信号一直不出现，这样的假设与H₀假设重合，这是不能发生的，所以J₁的取值范围在0和N-1之间。

1.2 主用户信号随机离开时的模型

同样，当主用户信号随机离开的时候，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {x\left( n \right) = w\left( n \right)}&{{H_0}}\\ {x\left( n \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {s\left( n \right) + w\left( n \right)}&{n = 1,2, \cdots ,{J_2}}\\ {w\left( n \right)}&{n = {J_2} + 1,{J_2} + 2, \cdots ,N} \end{array}} \right.}&{{H_1}} \end{array} $

(2)

式中：所有符号含义与式(1)相同，只有J₂表示主用户信号离开之前的那一个时刻，且J₂的离开是一个离开率为λ_d的泊松随机过程。J₂的取值范围在1和N之间，这是因为当J₂为0时，表示主用户信号一开始就不存在，这样的假设与与H₀假设重合，这是不能发生的，而当J₂为N时，表示主用户信号一直都未离开，这是可以发生的，所以J₂的取值范围在1和N之间。

2 频谱感知方法 2.1 主用户信号随机出现时的频谱感知

根据式(1)中所描述的系统模型，利用似然比法则，可得判决统计量L(x)为

$ L\left( x \right) = \frac{{f\left( {x\left| {{H_1}} \right.} \right)}}{{f\left( {x\left| {{H_0}} \right.} \right)}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\sigma _w^2} \right)}^{ - \frac{N}{2}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 1}^{{J_1}} {{x^2}\left( n \right)} - \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{{\left( {x\left( n \right) - s\left( n \right)} \right)}^2}} } \right]}}{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\sigma _w^2} \right)}^{ - \frac{N}{2}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 1}^N {{x^2}\left( n \right)} } \right]}} $

(3)

欲求s(n)的最大似然估计，令$\frac{{\partial \ln L\left( x \right)}}{{\partial s\left( n \right)}} = 0$，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \ln L\left( x \right)}}{{\partial s\left( n \right)}} = \frac{{\partial \left( {\sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{x^2}\left( n \right)} - \sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{{\left( {x\left( n \right) - s\left( n \right)} \right)}^2}} } \right)}}{{\partial s\left( n \right)}} = 0 \Rightarrow }\\ {2\left( {x\left( n \right) - s\left( n \right)} \right) = 0 \Rightarrow \hat s\left( n \right) = s\left( n \right)} \end{array} $

(4)

因此，在式(3)中用s(n)的最大似然估计x(n)去代替s(n)并取对数，可得

$ \ln L\left( x \right) = \frac{{f\left( {x\left| {{H_1}} \right.} \right)}}{{f\left( {x\left| {{H_0}} \right.} \right)}} = \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{x^2}\left( n \right)} $

(5)

忽略掉无关项，可得判决统计量Δ^T

$ {\Delta ^T} = \sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{x^2}\left( n \right)} $

(6)

由于J₁是服从参数为λ_α的泊松随机过程，因此对于每个样本来说，主信号到达的概率是1－e^－λ_α，不到达的概率是e^－λ_α，那么在第J₁+1个时刻主信号出现的概率就是(1－e^－λ_α)e^－λ_αJ₁，因此判决统计量Δ^T需要对J₁求平均，即最终判决统计量Δ为

$ \Delta = \sum\limits_{{J_1} = 0}^{N - 1} {\left[ {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }{J_1}}}\sum\limits_{n = {J_1} + 1}^N {{x^2}\left( n \right)} } \right]} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }n}}} \right){x^2}\left( n \right)} $

(7)

在H₀的情况下，即x(n)~N(0, σ_w²)(N表示正态分布)，因此x²(n)~σ_w²χ₁²(χ_n²表示自由度为n的卡方分布)，故有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_0}} \right.} \right] = \sigma _w^2}&{D\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_0}} \right.} \right] = 2\sigma _w^4} \end{array} $

(8)

当N比较大时，判决统计量可以看成是一个近似的高斯变量，且其均值方差分别为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ {\Delta \left| {{H_0}} \right.} \right] = \left[ {N - \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} \right]\sigma _w^2}\\ {D\left[ {\Delta \left| {{H_0}} \right.} \right] = 2\sigma _w^4\left[ {N + \frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}}}} - 2\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} \right]} \end{array} $

(9)

因此，给定虚警概率P_fa，根据纽曼-皮尔逊准则，可以得到门限γ为

$ \gamma = \left[ {N - \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} \right]\sigma _w^2 + 2\sigma _w^2{\rm{erf}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {2{P_{{\rm{f \mathsf{ α} }}}}} \right) \times \\ \sqrt {N + \frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}}}} - 2\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} $

(10)

在H₁的情况下，即x(n)~N(s(n), σ_w²)，因此$\frac{{{x^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}}\sim\chi _1^2(\frac{{{s^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}})$，用高斯分布来逼近，就可以得到$\frac{{{x^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}}\sim N(1 + \frac{{{s^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}},2 + 4\frac{{{s^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}})$，故此有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_1}} \right.} \right] = \sigma _w^2 + {s^2}\left( n \right)}&{D\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_1}} \right.} \right] = 2\sigma _w^4 + 4\sigma _w^2{s^2}\left( n \right)} \end{array} $

(11)

进一步可以得到判决统计量Δ在H₁下的均值和方差分别为

$ E\left[ {\Delta \left| {{H_1}} \right.} \right] = \left[ {N - \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} \right]\sigma _w^2 + \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\lambda _\alpha }n}}} \right){s^2}\left( n \right)} $

(12)

$ D\left[ {\Delta \left| {{H_1}} \right.} \right] = 4\sigma _w^4\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }n}}} \right)}^2}{s^2}\left( n \right)} + 2\sigma _w^4\left[ {N + \frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}}}} - 2\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} \right] $

(13)

所以此时，检测概率为

$ {P_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}{\rm{erfc}}\left( {\frac{{2{\rm{erf}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {2{P_{{\rm{f \mathsf{ α} }}}}} \right)\sqrt {N + \frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}}}} - 2\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} - \frac{{\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }n}}} \right){s^2}\left( n \right)} }}{{\sigma _w^2}}}}{{2\sqrt {N + \frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _\alpha }}}}} - 2\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }}}}}} + \frac{{2\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _\alpha }n}}} \right)}^2}{s^2}\left( n \right)} }}{{\sigma _w^2}}}}} \right) $

(14)

式中：${\rm{erfc}}\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_x^\infty {{{\rm{e}}^{ - {t^2}}}} {\rm{d}}t$为互补误差函数。

2.2 主用户信号随机离开时的频谱感知

根据式(2)中所描述的系统模型，利用似然比法则，可得式(15)所示的判决统计量L(x)。进一步地，同式(4)，在式(15)中用s(n)的最大似然估计x(n)去代替s(n)并取对数，可得

$ L\left( x \right) = \frac{{f\left( {x\left| {{H_1}} \right.} \right)}}{{f\left( {x\left| {{H_0}} \right.} \right)}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\sigma _w^2} \right)}^{ - \frac{N}{2}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 1}^{{J_2}} {{{\left( {x\left( n \right) - s\left( n \right)} \right)}^2}} - \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = {J_2} + 1}^N {{x^2}\left( n \right)} } \right]}}{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\sigma _w^2} \right)}^{ - \frac{N}{2}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 1}^N {{x^2}\left( n \right)} } \right]}} $

(15)

$ \ln L\left( x \right) = \frac{{f\left( {x\left| {{H_1}} \right.} \right)}}{{f\left( {x\left| {{H_0}} \right.} \right)}} = \frac{1}{{2\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 1}^{{J_2}} {{x^2}\left( n \right)} $

(16)

忽略掉无关项，可得判决统计量Δ^T为

$ {\Delta ^T} = \sum\limits_{n = 1}^{{J_2}} {{x^2}\left( n \right)} $

(17)

由于J₂服从参数为λ_d的泊松随机过程，因此对于每个样本来说，主信号离开的概率是1－e^－λ_d，不离开的概率是e^－λ_d，那么在第J₂+1个时刻主信号离开的概率是(1－e^－λ_d)e－λ_dJ₂，因此判决统计量Δ^T需要对J₂求平均，即最终判决统计量Δ为

$ \Delta = \sum\limits_{{J_2} = 1}^N {\left[ {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}{J_2}}}\sum\limits_{n = 1}^{{J_2}} {{x^2}\left( n \right)} } \right]} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}n}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right){x^2}\left( n \right)} $

(18)

在H₀的情况下，x(n)~N(0, σ_w²)，因此x²(n)~σ_w²χ₁²，故有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_0}} \right.} \right] = \sigma _w^2}&{D\left[ {{x^2}\left( n \right)\left| {{H_0}} \right.} \right] = 2\sigma _w^4} \end{array} $

(19)

当N比较大时，判决统计量可以看成是一个近似的高斯变量，且其均值方差分别为

$ E\left[ {\Delta \left| {{H_0}} \right.} \right] = \left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}} - N{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right]\sigma _w^2 $

(20)

$ D\left[ {\Delta \left| {{H_0}} \right.} \right] = \sum\limits_{n = 1}^N {{{\left( {{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}n}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right)}^2}2\sigma _w^4} = \\ \left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}}}} + N{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}}} \right]2\sigma _w^4 $

(21)

因此，给定虚警概率P_fa，门限γ为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\gamma = \left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}} - N{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right]\sigma _w^2 + 2\sigma _w^2{\rm{erf}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {2{P_{{\rm{fa}}}}} \right) \times }\\ {\sqrt {\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}}}} + N{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}}} \right]} } \end{array} $

(22)

在H₁的情况下，$\frac{{{x^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}}$服从$N(1 + \frac{{{s^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}},2 + 4\frac{{{s^2}\left( n \right)}}{{\sigma _w^2}})$的正态分布，因此有

$ E\left[ {\Delta \left| {{H_1}} \right.} \right] = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}n}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right){s^2}\left( n \right)} + \left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}} - N{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right]\sigma _w^2 $

(23)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {D\left[ {\Delta \left| {{H_1}} \right.} \right] = 4\sigma _w^2\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}n}} + {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}n}}} \right){s^2}\left( n \right)} + }\\ {\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}}}} + N{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}}} \right]2\sigma _w^4} \end{array} $

(24)

所以此时，检测概率为

$ {P_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}{\rm{erfc}}\\ \left( {\frac{{2\sigma _w^2{\rm{erf}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {2{P_{{\rm{fa}}}}} \right)\sqrt {\frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}}}} + N{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}}} - \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right){s^2}\left( n \right)} }}{{2\sqrt {\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}}}}} + N{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}} - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}}}}}} \right]\sigma _w^4 + 2\sigma _w^2\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}n}} - {{\rm{e}}^{ - 2{\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}} - 2{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{\rm{d}}}\left( {N + 1} \right)}}} \right){s^2}\left( n \right)} } }}} \right) $

(25)

至此，本文所提主用户信号随机出现及离开时的频谱感知算法步骤总结为:

(1) 当一个认知用户准备接入一个主用户频段时，先依据从待测频段接收到的N个信号样本，例如可用式(18)构建判决统计量Δ。

(2) 根据给定虚警概率P_fa，如式(22)构建门限γ。

(3) 将判决统计量Δ与门限γ进行对比，当Δ>γ时判决主用户信号还存在于当前频段，反之则判为主用户信号已经离开当前频段，此时认知用户可以接入并使用该空闲频段。

(4) 在认知用户使用空闲主用户频段的时候，依然需要进行实时频谱感知以判断主用户信号是否已经出现，如果出现则须交还正在使用的频段。此时，认知用户根据接收到的N个信号样本，可以按照式(7)构建判决统计量Δ。

(5) 根据给定虚警概率P_fa，如式(10)构建门限γ。

(6) 将判决统计量Δ与门限γ进行对比，当Δ>γ时判决主用户信号已经出现，此时认知用户退出当前频段，反之则判主用户信号尚未出现，认知用户可以继续使用当前频段。

在复杂度上，由于e^－λ_d(N+1)是一常量，因此对于本文所提方法，无论是主用户随机出现还是随机离开，都需要N次指数运算，2N次乘法运算和3N-1次加法运算，相比只需要N次乘法运算和N-1次加法运算的传统能量检测方法，本方法的复杂度有所增加，但是从后面的仿真可以看到，本方法能很好地针对主用户随机出现和离开的情况。

3 仿真与结果分析

图 2—5为当授权用户信号随机出现和离开时本文所提新型能量感知法与传统能量感知法的性能曲线对比图。为了简便起见，图 2—5中，主用户信号为一个服从高斯分布的随机信号，噪声为功率为1的高斯白噪声，虚警概率为0.01。所有的结果皆由10 000次蒙特卡洛实验得到。

图 2为主用户信号随机出现时，所提能量感知法与传统能量感知法样本数量与检测概率性能曲线图。假定主用户信号的到达率分别为0.1和1。从图 2中可看到，无论在哪个到达率下，在主用户信号随机出现的时候，所提能量感知法比传统能量感知法要优越，在相同的检测概率下，大约节省8%~10%的样本数量。

图 3为主用户信号随机出现时，所提能量感知法与传统能量感知法信噪比与检测概率性能曲线图。假定主用户信号的到达率分别为0.1和1。根据图 3的结果，同样可以看到所提能量感知法比传统能量感知法提高0.3~0.5 dB。

图 4为主用户信号随机离开时，所提能量感知法与传统能量感知法样本数量与检测概率性能曲线图。假定主用户信号的离开率分别为0.01和0.1。从图 4中看到，主用户信号随机离开时，传统能量感知法几乎完全检测不到，即使把样本数量增加到5 000。而所提能量感知法可以有效地工作。

图 5为主用户信号随机出现时，所提能量感知法与传统能量感知法信噪比与检测概率性能曲线图。假定主用户信号的离开率分别为0.01和0.1。同样地，从图 5中可以看到，主用户信号随机离开时，所提能量感知比传统能量感知在性能上提高5~6 dB左右。

4 结束语

本文针对认知无线电系统中主用户信号随机出现与离开时的频谱感知问题，提出了一种新的能量感知方法。该方法首先假设主用户信号的随机出现和离开服从泊松随机过程，当认知用户准备接入时，该方法先将从待测频段上接收到的样本能量按照泊松离开概率进行线性合并，然后计算相应的判决门限并判断待测频段是否有主用户信号，如果没有则接入并使用待测频段。当认知用户使用频段时，将接收到的样本能量按照泊松到达概率进行线性合并同时计算相应的门限，再判断主用户信号是否随机出现，如出现则退出当前使用频段。仿真结果表明，相比传统能量感知方法，在主用户信号随机出现与离开时，根据不同的到达率和样本数量，在性能上大约有0.5~5 dB的提升。